Задание с параметром на ЕГЭ по профильной математике: что это и как научиться его решать

Задача с параметром считается одной из самых сложных задач ЕГЭ по профильной математике. Многие ученики, впервые увидев такое задание, принимают решение даже не вчитываться в условие. А кто-то тратит несколько часов на попытку решить и не приходит ни к чему.

И это вполне объяснимо. Здесь не получится выучить одну формулу и подставить в неё числа. Для решения параметров приходится использовать знания практически из всех разделов школьной математики, анализировать разные случаи и самостоятельно выбирать способ решения.

Но есть и хорошая новость: решение задач с параметром можно натренировать. Для этого нужно разобраться, как они устроены, освоить основные методы и решить достаточное количество задач разных типов.
Разберёмся, что такое параметр, почему это задание считается сложным и стоит ли вообще тратить на него время при подготовке к ЕГЭ.

Начнём с самого слова «параметр».
В обычном уравнении может быть неизвестная:
x + 5 = 10
Нужно найти x. Здесь всё просто: x = 5.
В задаче с параметром появляется ещё одна величина, обычно её обозначают буквой a. И от значения этой величины зависит то, как будет вести себя всё уравнение.
Например:
x² − 2x + a = 0
Теперь недостаточно просто ответить, чему равен x.
Можно поставить другой вопрос:
при каких значениях a это уравнение имеет два различных корня?
При одних значениях параметра a решений будет два, при других одно, а при некоторых действительных решений вообще не будет.
Именно эту зависимость и должен исследовать ученик.
Поэтому задача с параметром проверяет не только умение считать. Нужно понять, как изменение одного элемента влияет на всю математическую конструкцию.

В проекте ЕГЭ по профильной математике 2027 года задача с параметром находится под номером 19.

До 2027 года параметр был заданием №18. Нумерация изменилась из-за изменений в структуре экзамена.

Задание относится ко второй части ЕГЭ. Здесь недостаточно записать короткий ответ: необходимо привести полноценное развёрнутое решение.
По проекту ЕГЭ-2027 за задачу с параметром можно получить до 4 первичных баллов.

Главная сложность параметров в том, что здесь практически нет универсального алгоритма в духе:

1. применяем формулу;
2. считаем;
3. записываем ответ.

Две внешне похожие задачи могут потребовать совершенно разных подходов.

В параметрах могут понадобиться:

• ·уравнения и неравенства;
• ·системы уравнений;
• ·квадратные уравнения и дискриминант;
• ·свойства функций;
• ·графики;
• ·модули;
• ·степени и логарифмы;
• ·тригонометрия;
• ·исследование количества корней;
• ·преобразование выражений;
• ·оценка граничных случаев.

Поэтому ученик должен не только владеть отдельными темами, но и понимать, какой инструмент использовать именно сейчас.
Это принципиальное отличие от многих заданий первой части ЕГЭ.

Нет.

Чтобы начать решать параметры, не обязательно быть олимпиадником или учиться в сильном физико-математическом лицее.
Другое дело, что ученику нужна достаточно крепкая база. Если пока возникают проблемы с квадратными уравнениями, функциями или неравенствами, сначала разумнее разобраться с ними.
Но когда основная программа ЕГЭ уже освоена, параметры становятся логичным следующим уровнем подготовки.

Большая ошибка заключается в установке:
«Я не математический гений, поэтому параметр даже открывать не буду».
Задачи действительно сложные. Но внутри них постоянно встречаются знакомые конструкции и повторяющиеся идеи. Чем больше качественно разобранных задач видит ученик, тем быстрее он начинает их замечать.

В какой-то момент вместо огромного незнакомого выражения он видит: «Ага, здесь нужно посмотреть на количество корней», «здесь удобнее построить график», «а здесь сначала надо проверить особое значение параметра».
И задача уже перестаёт выглядеть как набор случайных символов.

Одного универсального способа нет, но есть несколько подходов, которые встречаются постоянно.

Алгебраический метод

Ученик преобразует выражение и исследует, при каких значениях параметра выполняются необходимые условия.
Здесь могут использоваться дискриминант, разложение на множители, свойства корней, системы уравнений и неравенств.

Графический метод

Иногда гораздо проще не проводить длинные вычисления, а посмотреть на задачу геометрически.

Строятся графики, а затем исследуется, например, сколько точек пересечения они имеют при разных значениях параметра.
В таком случае вопрос «при каких a уравнение имеет два решения?» превращается в более наглядный вопрос: при каком положении графиков у них будет ровно две общие точки?

Исследование функции

В более сложных задачах приходится смотреть на область определения, монотонность, экстремумы и другие свойства функции.

Разбор отдельных случаев

Это один из важнейших навыков.

При определённых значениях параметра выражение может начать вести себя совершенно иначе. Например, исчезнет часть уравнения или изменится количество допустимых решений.

Если такой случай не заметить, можно провести почти всё решение правильно и всё равно получить неверный ответ.

Параметры неудобно изучать «между делом».

Чтобы уверенно работать с такими задачами, недостаточно посмотреть один видеоразбор и понять решение преподавателя.

Понять чужое решение и самостоятельно найти решение новой задачи — совершенно разные вещи.

Именно поэтому подготовка к параметрам обычно выносится в отдельный блок. В основной подготовке к ЕГЭ сначала необходимо обеспечить стабильное решение более доступных заданий экзамена, а уже затем тратить значительное количество времени на одну из самых сложных тем.

Задание №19 проверяется экспертами по критериям конкретной задачи, поэтому здесь важен не только финальный ответ, но и ход решения.
Это принципиально отличает вторую часть от заданий с кратким ответом.
В зависимости от конкретной задачи корректно выполненная часть решения может принести часть первичных баллов, даже если ученик не получил полный правильный ответ.

Поэтому стратегия «я всё равно не решу параметр полностью, значит, даже смотреть туда бессмысленно» не всегда разумна.

Полезно научиться хотя бы:

• понимать условие;
• видеть возможный путь решения;
• правильно выполнять первые этапы;
• рассматривать отдельные случаи;
• математически грамотно записывать рассуждения.

Конкретное количество баллов всегда зависит от критериев конкретного задания, поэтому рассчитывать на балл просто «за попытку» нельзя. Но содержательно верные этапы решения могут иметь значение при проверке.

Одна из самых распространённых ошибок вообще не математическая: ученик заранее решил, что параметр ему не по силам.
Есть и более предметные проблемы.
Не рассмотрены особые значения параметра.
Основное решение верное, но потерян отдельный случай.
Не проверены ограничения.
После преобразований появляются значения, которые не подходят исходному условию.
Слишком ранний переход к вычислениям.
Ученик начинает раскрывать скобки и считать, хотя сначала стоило понять структуру задачи.
Неверно выбран метод.
Задачу пытаются решить огромным количеством алгебры, хотя график сделал бы её значительно понятнее.
Недостаточно обоснований.
Ученик видит правильную идею, но не может корректно записать её в развёрнутом решении.
Поэтому при подготовке важно не просто считать количество решённых параметров. Намного полезнее после каждой задачи отвечать на вопрос: какую идею из этого решения я должен узнать в следующей задаче?

Параметры не должны становиться первой целью ученика, который пока нестабильно решает основную часть экзамена.
Сначала нужно набрать прочную базу и научиться забирать более доступные баллы.

А вот если ученик:

· уверенно справляется с основной программой;
· претендует на высокий результат;
· хочет расширить набор решаемых заданий второй части;
· готов регулярно заниматься дополнительно,

тогда параметры определённо стоит включать в подготовку.
Чем выше целевой результат, тем важнее не просто уменьшать количество ошибок в знакомых заданиях, но и постепенно увеличивать число задач экзамена, которые ученик вообще способен решать.

Начинать сразу с самых сложных задач обычно неэффективно.
Лучше двигаться постепенно.

Сначала разобраться, что такое параметр и какие вопросы вообще встречаются в таких задачах. Затем отдельно освоить основные методы. После этого решить простые задачи каждого типа и только потом переходить к полноценным заданиям уровня ЕГЭ.

При этом важно не просто смотреть разборы.

После объяснения ученик должен закрыть решение и попробовать воспроизвести его самостоятельно. Затем решить похожую задачу. Потом ещё одну, где знакомая идея спрятана немного иначе.

Именно в этот момент появляется настоящий навык.

Для учеников, которым недостаточно основной программы и которые хотят отдельно разобраться с заданием №19, мы проводим мини-курс по параметрам.

Курс рассчитан не только на олимпиадников и учеников сильных математических лицеев. Наша задача, наоборот, подробно разобрать сложную тему понятным языком и показать повторяющиеся идеи, которые можно научиться замечать.

В программе 8 занятий в течение двух месяцев. Разбираем теорию, основные типы параметров и много решаем самостоятельно. Преподаватель проверяет решения и разбирает ошибки.

Теория дополнительно остаётся в виде видеозаписей и конспектов, чтобы к сложным моментам можно было вернуться самостоятельно.

Занятия проходят очно в Постоянной Планка на пр. Ленина, 1.